手册

数学

Discovery

Andrius Kulikauskas

  • ms@ms.lt
  • +370 607 27 665
  • My work is in the Public Domain for all to share freely.

Lietuvių kalba

Introduction E9F5FC

Understandable FFFFFF

Questions FFFFC0

Notes EEEEEE

Software

Book.MathDiscovery istorija

Paslėpti nežymius pakeitimus - Rodyti galutinio teksto pakeitimus

2018 lapkričio 11 d., 16:39 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 8-9 eilutės:

* Collect [[math discovery examples]].
2016 gruodžio 13 d., 21:59 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 6-9 eilutės:

>>bgcolor=#FFFFC0<<

How does the three-cycle extend our existing mathematical language?
2016 birželio 23 d., 13:52 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 66-71 eilutės:

[+Matematikos išsiaiškinimo būdai+]

* [[http://www.cut-the-knot.org/m/ProblemSolving.shtml | Alexander Bogomolny sarašas]]
2016 birželio 20 d., 12:24 atliko AndriusKulikauskas -
Pakeistos 5-6 eilutės iš

Attach:matematikos-issiaiskinimo-budai.png
į:
Attach:matematikos-issiaiskinimo-budai700.png
2016 birželio 20 d., 10:43 atliko AndriusKulikauskas -
Pakeista 1 eilutė iš:
See: [[Math]], [[20110402 Math Deep Structure]]
į:
See: [[Math]], [[20110402 Math Deep Structure]], [[20160620 Discovery in Mathematics]]
2016 birželio 20 d., 05:12 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 2-4 eilutės:

'''[[Discovery in Mathematics | Discovery in Mathematics: A System of Deep Structure]]'''
2016 birželio 19 d., 22:04 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 58-64 eilutės:

Extension: 3! + (4 + 4 + 4 + 6) = 4!

3! = 2! + 4 (representations: 2 for edge and 4 for vertex)

We may assign the weight q^(k-1) to the kth vertex and the weights 1/q to each new edge. These weights give each vertex a unique label. The weight of each k-simplex is then the products of the weights of their vertices and edges. The Gaussian binomial coefficients count these weighted k-simplexes. Without the weights the vertices are distinct but there is no way to distinguish them. The symmetry group is the Symmetric group which relabels the vertices.
2016 birželio 19 d., 15:06 atliko AndriusKulikauskas -
Ištrintos 50-82 eilutės:


------------------


--------------------------

George Polyos knyga "Kaip išspręsti" (How to Solve It) iškėlė keturis pasikartojančius vaizduotės "derinius" kuriuos matematikai taiko spręsdami įvairių sričių uždavinius. Pavyzdžiui, esant segmentui AB, kaip jo pagrindu nubrėžti lygiakraštį trikampį? "Dviejų kreivių derinį" taikydami, apie taškus A ir B nubrėžiame apskritimus spinduliu AB ir įsidėmime jų sankirtų taškus. Pastebėkime, jog sprendžiant šį uždavinį, mūsų protas sustato sprendimo sąlygų gardelę: plokštuma (sąlygų nebuvimas), apskritimas A (viena sąlyga), apskritimas B (kita sąlyga), sankirtos taškai (abi sąlygos). Tad paviršutiniškas uždavinys (nubrėžti trikampį) išsprendžiamas vaizduotei pasitelkus paprastesnę, giliau glūdinčią sandarą (sąlygų gardelę). Tai primena kalbotyrininko Noam Chomsky sintaksės teoriją bei architekto Christopher Alexander derinių kalbą.

Tokių uždavinio sprendimo būdų prisirinkau iš įvairių šaltinių, o ypač Paul Zeitz išsamios knygos "The Art and Craft of Problem Solving". [1] Kiekvienas būdas remiasi matematikams gerai pažįstama sandara kuri tačiau lieka neišrašyta o tik protu taikoma. Galime tokias sandaras laikyti prigimtinėmis. Surinkau 24 tokius derinius ir juos išdėliojau taip, kad būtų galima pamanyti, jog tai išbaigtas rinkinys. Pristatysiu šį išdėstymą, kurį esu nubrėžęs ir aprašęs anglų kalba [2].

Išsiskiria išsiaiškinimo būdai kuriais dėmesys susitelkia į vieną "lakštą", kaip kad algebroje (išeities taškas, lyginimas, daugianaris, tiesinė erdvė), ir tie būdai kurie remiasi menama lakštų virtine, kaip kad analizėje (seka, dalinio tvarkinio kraštutinė reikšmė, tikslusis viršutinis ar apatinis rėžis, riba). Galim visada pradėti iš naujo (nepriklausomieji įvykiai). Lakštus galime "susiūti" (srities išplėtimu, tolydumo galiojimu, savęs persidengimu). Algebrainiai ir analitiniai priėjimai bendrom jėgom aprašo išbaigtą santvarką (simetrijos grupę). Santvarkoje galime įvairiai susieti du lakštus, vieną kuriame uždavinys išrašomas, ir kitą kuriame jisai vaizduotės sprendžiamas (tiesa, metmenys, išvada, kintamasis). Toliau galime išrašytą uždavinį tvarkyti vienu iš šešių vaizdavimo būdų (galimybių medžiu, gretimumo žemėlapiu, pilnuoju tvarkiniu, poaibių aibės gardele, skaidymu daugikliais, nuorodų tinklu). Tačiau bet koks išsireiškimo, kaip antai 10+4= , supratimas galiausiai priklauso nuo to, kas lieka neišsakyta, ką turime mintyje, pavyzdžiui, ar dirbame su skaičiais Z ar su laikrodžiu Z12 (kontekstas).

Raktažodžiai: išsiaiškinimo būdai, sprendimo būdai, giluminė sandara, derinių kalba.

----------

Mokslus baigiau JAV, tad aiškumo dėlei taip pat pridedu santrauką anglų kalba.

-----------------------------------------

'''Discovery in Mathematics: A System of Deep Structure'''

George Polya's book "How to Solve It" showed how we can collect recurring cognitive "patterns" which mathematicians apply intuitively in a variety of settings. For example, in drawing an equilateral triangle, given the first side AB, how do we draw the other two? Using the "pattern of two loci", we draw circles of radius AB centered at A and B and find their intersections. I note here that, in solving this problem, our mind constructs a lattice of conditions on the solution: the plane (no condition), circle A (one condition), circle B (one condition) and the intersection of A and B (two conditions). Thus the surface problem (constructing a triangle) is solved in the mind by considering a simpler, deeper structure (a lattice of conditions). This brings to mind linguist Noah Chomsky's work in syntax and architect Christopher Alexander's work on pattern languages.

I collected such problem solving patterns discussed in Paul Zeitz's book "The Art and Craft of Problem Solving" and other sources. [1] Each distinct pattern makes use of a structure which is familiar to mathematicians and yet is not explicit but mental. We may consider those math structures to be cognitively "natural" which are used by the mind in solving math problems. I identified 24 patterns and systematized them in a way which suggests they are complete. I will present this system as drawn and described in more detail at [2].

The system distinguishes between cognitive structures used on a single mental "sheet", as in algebra (center, balance, polynomials, vector spaces), and those that suppose an endless sequence of sheets, as in analysis (sequence, poset with maximal or minimal element, least upper bounds or greatest lower bounds, limits). We may always start a fresh sheet (independent trials). Sheets may be "stitched together" (extend the domain, continuity, self-superimposed sequence). Algebraic and analytic approaches thus combine to give a complete, explicit system (symmetry group). Within a system, we can relate an explicit sheet where it has fixed expression with an implicit mental sheet where it is imagined and worked on (truth, model, implication, variable). We can then manipulate a problem explicitly as one of six visualizations of a graph structure (tree of variations, adjacency graph, total order, powerset lattice, decomposition, directed graph). However, the meaning of any explicit expression such as 10+4= ultimately depends on what is implicit, whether we have in mind, for example, the integer Z or a clock Z12 (context).

[1] http://www.selflearners.net/ways/index.php?d=Math
[2] http://www.ms.lt/sodas/Mintys/MatematikosRūmai

Key words: mathematical discovery, problem solving, deep structure, pattern language
2016 birželio 19 d., 12:40 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 5-6 eilutės:
>>bgcolor=#EEEEEE<<
Pakeistos 50-92 eilutės iš
http://www.selflearners.net/uploads/multiplicationmodels.png
į:
http://www.selflearners.net/uploads/multiplicationmodels.png


------------------


--------------------------

George Polyos knyga "Kaip išspręsti" (How to Solve It) iškėlė keturis pasikartojančius vaizduotės "derinius" kuriuos matematikai taiko spręsdami įvairių sričių uždavinius. Pavyzdžiui, esant segmentui AB, kaip jo pagrindu nubrėžti lygiakraštį trikampį? "Dviejų kreivių derinį" taikydami, apie taškus A ir B nubrėžiame apskritimus spinduliu AB ir įsidėmime jų sankirtų taškus. Pastebėkime, jog sprendžiant šį uždavinį, mūsų protas sustato sprendimo sąlygų gardelę: plokštuma (sąlygų nebuvimas), apskritimas A (viena sąlyga), apskritimas B (kita sąlyga), sankirtos taškai (abi sąlygos). Tad paviršutiniškas uždavinys (nubrėžti trikampį) išsprendžiamas vaizduotei pasitelkus paprastesnę, giliau glūdinčią sandarą (sąlygų gardelę). Tai primena kalbotyrininko Noam Chomsky sintaksės teoriją bei architekto Christopher Alexander derinių kalbą.

Tokių uždavinio sprendimo būdų prisirinkau iš įvairių šaltinių, o ypač Paul Zeitz išsamios knygos "The Art and Craft of Problem Solving". [1] Kiekvienas būdas remiasi matematikams gerai pažįstama sandara kuri tačiau lieka neišrašyta o tik protu taikoma. Galime tokias sandaras laikyti prigimtinėmis. Surinkau 24 tokius derinius ir juos išdėliojau taip, kad būtų galima pamanyti, jog tai išbaigtas rinkinys. Pristatysiu šį išdėstymą, kurį esu nubrėžęs ir aprašęs anglų kalba [2].

Išsiskiria išsiaiškinimo būdai kuriais dėmesys susitelkia į vieną "lakštą", kaip kad algebroje (išeities taškas, lyginimas, daugianaris, tiesinė erdvė), ir tie būdai kurie remiasi menama lakštų virtine, kaip kad analizėje (seka, dalinio tvarkinio kraštutinė reikšmė, tikslusis viršutinis ar apatinis rėžis, riba). Galim visada pradėti iš naujo (nepriklausomieji įvykiai). Lakštus galime "susiūti" (srities išplėtimu, tolydumo galiojimu, savęs persidengimu). Algebrainiai ir analitiniai priėjimai bendrom jėgom aprašo išbaigtą santvarką (simetrijos grupę). Santvarkoje galime įvairiai susieti du lakštus, vieną kuriame uždavinys išrašomas, ir kitą kuriame jisai vaizduotės sprendžiamas (tiesa, metmenys, išvada, kintamasis). Toliau galime išrašytą uždavinį tvarkyti vienu iš šešių vaizdavimo būdų (galimybių medžiu, gretimumo žemėlapiu, pilnuoju tvarkiniu, poaibių aibės gardele, skaidymu daugikliais, nuorodų tinklu). Tačiau bet koks išsireiškimo, kaip antai 10+4= , supratimas galiausiai priklauso nuo to, kas lieka neišsakyta, ką turime mintyje, pavyzdžiui, ar dirbame su skaičiais Z ar su laikrodžiu Z12 (kontekstas).

Raktažodžiai: išsiaiškinimo būdai, sprendimo būdai, giluminė sandara, derinių kalba.

----------

Mokslus baigiau JAV, tad aiškumo dėlei taip pat pridedu santrauką anglų kalba.

-----------------------------------------

'''Discovery in Mathematics: A System of Deep Structure'''

George Polya's book "How to Solve It" showed how we can collect recurring cognitive "patterns" which mathematicians apply intuitively in a variety of settings. For example, in drawing an equilateral triangle, given the first side AB, how do we draw the other two? Using the "pattern of two loci", we draw circles of radius AB centered at A and B and find their intersections. I note here that, in solving this problem, our mind constructs a lattice of conditions on the solution: the plane (no condition), circle A (one condition), circle B (one condition) and the intersection of A and B (two conditions). Thus the surface problem (constructing a triangle) is solved in the mind by considering a simpler, deeper structure (a lattice of conditions). This brings to mind linguist Noah Chomsky's work in syntax and architect Christopher Alexander's work on pattern languages.

I collected such problem solving patterns discussed in Paul Zeitz's book "The Art and Craft of Problem Solving" and other sources. [1] Each distinct pattern makes use of a structure which is familiar to mathematicians and yet is not explicit but mental. We may consider those math structures to be cognitively "natural" which are used by the mind in solving math problems. I identified 24 patterns and systematized them in a way which suggests they are complete. I will present this system as drawn and described in more detail at [2].

The system distinguishes between cognitive structures used on a single mental "sheet", as in algebra (center, balance, polynomials, vector spaces), and those that suppose an endless sequence of sheets, as in analysis (sequence, poset with maximal or minimal element, least upper bounds or greatest lower bounds, limits). We may always start a fresh sheet (independent trials). Sheets may be "stitched together" (extend the domain, continuity, self-superimposed sequence). Algebraic and analytic approaches thus combine to give a complete, explicit system (symmetry group). Within a system, we can relate an explicit sheet where it has fixed expression with an implicit mental sheet where it is imagined and worked on (truth, model, implication, variable). We can then manipulate a problem explicitly as one of six visualizations of a graph structure (tree of variations, adjacency graph, total order, powerset lattice, decomposition, directed graph). However, the meaning of any explicit expression such as 10+4= ultimately depends on what is implicit, whether we have in mind, for example, the integer Z or a clock Z12 (context).

[1] http://www.selflearners.net/ways/index.php?d=Math
[2] http://www.ms.lt/sodas/Mintys/MatematikosRūmai

Key words: mathematical discovery, problem solving, deep structure, pattern language


--------------------------------

[+Notes+]

Total order is the same as a labeled simplex.

>><<
2016 birželio 19 d., 12:37 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 1-2 eilutės:
See: [[Math]], [[20110402 Math Deep Structure]]
2016 birželio 18 d., 17:38 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 1-46 eilutės:
Attach:matematikos-issiaiskinimo-budai.png

Zermelo-Fraenkel axioms of set theory

* Axiom of Extensionality. Two sets are the same set if they have the same elements.
* Axiom of Regularity. Every non-empty set x contains a member y such that x and y are disjoint sets. This implies, for example, that no set is an element of itself and that every set has an ordinal rank.
* Axiom Schema of Specification. The subset of a set z obeying a formula ϕ(x) with one free variable x always exists.
* Axiom of Pairing. If x and y are sets, then there exists a set which contains x and y as elements.
* Axiom of Union. The union over the elements of a set exists.
* Axiom Schema of Replacement. The image of a set under any definable function will also fall inside a set.
* Axiom of Power Set. For any set x, there is a set y that contains every subset of x.
* Well-Ordering Theorem. For any set X, there is a binary relation R which well-orders X.

Also:
* Axiom of infinity. Let S(w) abbreviate w ∪ {w}, where w is some set. Then there exists a set X such that the empty set ∅ is a member of X and, whenever a set y is a member of X, then S(y) is also a member of X.

Implicit math: Sets are simplexes. Are simplexes defined by their subsimplexes as well?
* Well-ordering theorem. Each vertex is related by edges to the other vertices. Established by the q-weight.
* Axiom of power set. The power sets are the lattice paths in Pascal's triangle.
* Axiom of union. Simplexes combine to form larger simplexes.
* Axiom of pairing. Simplexes can be "collapsed" or "represented" by a vertex, the highest vertex. Two vertices are linked by an edge.
* Axiom of regularity.
* Axiom of extensionality. Simplexes are defined by their vertices. And the edges?

Eightfold way
* Axiom of Pairing. If x and y are sets, then there exists a set which contains x and y as elements.
* Axiom of Extensionality. Two sets are the same set if they have the same elements.
* Axiom of Union. The union over the elements of a set exists.
* Axiom of Power set. For any set x, there is a set y that contains every subset of x.

* Axiom of Regularity. Every non-empty set x contains a member y such that x and y are disjoint sets.
* Well-ordering theorem. For any set X, there is a binary relation R which well-orders X.
* Axiom Schema of Specification. The subset of a set z obeying a formula ϕ(x) with one free variable x always exists.
* Axiom Schema of Replacement. The image of a set under any definable function will also fall inside a set.

Reorganizings
* Evolution. Tree of variations. Axiom of Pairing (subbranches are part of a branch).
* Atlas. Adjacency graph. Axiom of Extensionality. Two levels of equality.
* Handbook. Total order. Well-Ordering Theorem.
* Chronicle. Powerset lattice. Axiom of Power Set.
* Catalog. Decomposition. Axiom of Union.
* Tour. Directed graph. Axiom of Regularity.

Relate to multiplication

http://www.selflearners.net/uploads/multiplicationmodels.png

MathDiscovery


Naujausi pakeitimai


Puslapis paskutinį kartą pakeistas 2018 lapkričio 11 d., 16:39
Tweet