调查

Andrius

Įvadas E9F5FC

Juodraštis? FFFFFF

Užrašai FCFCFC

Klausimai FFFFC0

Gvildenimai CAE7FA

Pavyzdžiai? F6EEF6

Šaltiniai? EFCFE1

Duomenys? FFE6E6

Išsiaiškinimai D8F1D8

Pratimai? FF9999

Dievas man? FFECC0

Pavaizdavimai? E6E6FF

Miglos? AAAAAA

Asmeniškai? BA9696

Mieli dalyviai! Visa mano kūryba ir kartu visi šie puslapiai yra visuomenės turtas, kuriuo visi kviečiami laisvai naudotis, dalintis, visaip perkurti. - Andrius

Įranga

redaguoti

Mintys.20190619-LieSandarųIštakos-Juodraštis istorija

Paslėpti nežymius pakeitimus - Rodyti galutinio teksto pakeitimus

2019 birželio 19 d., 14:32 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 38-135 eilutės:





-------------------------------

* Įvadas į Lie grupes ir algebras. Dykin diagrams. Rotations in 2, 3 dimensions. Lie algebra product [,] effect on basis elements of matrices - yeilding ei-ej, aij - arrow
* Tariamai ar tikrai gyvneimiškai
* Kaip [,] varžo Lie grupes? If XY=YX, then e^x e^y = e^{x+y} and [X,Y] =0 then dimensions are independent. e^X e^-X = e^I e^(ax+bx) = e^ax e^bx
* 4 geometrijos
* Conservation - paths, lines, angles, oriented areas. Sypmlectic 2x2 matrix: oriented area.
* inverses of group elements
* posūkiai turi determinantą 1. So by Cramer's rule they have combinatorially nice inverses.
* Inverse types
* Symplectic inverse. How does the symplectic inverse relate to the quaternions? to their conjugation?
* Why can't have other inverse types? For example, i to j iff j-bar to i-bar without sign change?
* Reorganize symplectic matrix in terms of 2x2 matrices. Get combinatorial interpretation of inverse elements.
* posūkiai - R, C, H - ir jų pavyzdžiai mažamatėse erdvėse
* e^tM reikšmės
* poliarinė dekompozicija
* bilinear forms
* matrix symmetries
* Cartan subalgebras
* generalized Cartan matrices
* Cartan matrix. Entries give the amount of looseness from root -i, how many steps can be taken with root j.
* Row of Cartan matrix. Given root -i, the various degrees of looseness one can take in the direction of each root.
* Determinant of Cartan matrix. Volume of looseness. Shows nondegeneracy of looseness in direction of each root. Volume spanned by row vectors giving looseness from each negative root. Volume spanned by column vectors giving amount of looseness in each direction. Size of WeightLattice/RootLattice which is the looseness of the whole system, the number of times the root system can be repeated in any dimension.
* Cartan matrix determinant. Study why An=n+1. A_n+1=2A_n-A_n-1Why the constraints arise for the other Lie algebra root system. Why the volume collapses for B_n, C_n, D_n. Why it's not possible to alter both ends.
* Determinant of Cartan matrix of G2 is 1. Explain why this is true. Based on Cartan matrix entries, based on weight lattice / root lattice.
* Root systems are variants of A_n simplex. Reverse the count? Why do the quadruple links arise. How does this relate to the Cartan matrix? And the weight lattice? and looseness? For B_n, are these double or quadruple links between x_i and 0?
* Weight/Root = 4 for A_3, show this with a 3-dimensional lattice
* Weight/Root lattice
* Counting <->
* Root systems - simplex enhancements
* Weyl groups
* Choice frameworks
*
* 120 + 120 = 90 degrees (ir Bott periodicity)
* Link An Lie algebra and Lie group
* An Geometric Link back bone for root systems
* A_2 illustration in 3 dimensions
* požiūriai, matai

Special linear groups of Reals, Complexes, Quaternions have maximal compact subgroups SO(n), SU(n), Sp(n).









--------------------------

Keturios klasikinės šeimos Lie grupių ir algebrų yra kertinės matematinės sandaros, siejančios algebrą ir analizę. Jų klasifikacija išplaukia iš Dynkin diagramų. Tai yra unitarinės {$A_n$}, neporinės ortogonalinės {$B_n$}, simplektinės {$C_n$} ir porinės ortogonalinės {$D_n$} grupės ir algebros. Ar galima giliau ir aiškiau įžvelgti, kokios yra šių keturių šeimų esminės savybės dėl kurių jos išsiskiria? Pristatysiu tris priėjimus ir savo pastangas juos susieti.

Pirma, Lie algebrų šaknų sistemas sietinos su jų simetrijas išreiškiančiomis Weyl grupėmis. Atitinkamas simetrijas turi trys politopų šeimos (simpleksai, kryžminiai politopai, hiperkubai) ir ketvirta sandara - hiperkubo koordinačių sistema. Šios keturios sandaros vaizduoja keturių skirtingų pobūdžio pasirinkimų kombinatorikas. Tai skirtingi būdai, kuriais protas įžvelgia simetriją Paskalio trikampiu generuojamoje sandaugoje {$x_1 x_2 \dots x_n$}. Pavyzdžiui, trikampis (simpleksas) turi vieną židinį, tris viršūnes, tris kraštus ir vieną visumą. O pastačius kūbą ant vienos viršūnės, jo aštuonios viršūnės išsidėsto: 1, 3, 3, 1. Atkreipiame dėmesį, kad šios simetrijos paviršutiniškai sutampa tačiau skiriasi savo sintaksine logika.

Antra, klasikinių Lie algebrų šaknų sistemos skirtingai auga. Visos grupės turi šaknis {$-x_1+x_2, -x_2 + x_3, \dots , -x_{n-1}+x_{n}$}. Grupės {$A_n$} šaknys auga toliau {$-x_n+x_{n+1}$}. Tačiau kitų grupių šaknys įvairiai sieja šį skaičiavimą pirmyn su skaičiavimu atgal {$-x_n-x_{n-1}, -x_{n-1}-x_{n-2}, \dots , -x_2-x_1$}. Grupė {$C_n$} juos suduria tiesiogiai, tarsi sulenkiant siūlą. Taip atsiranda šaknis {$-x_n -x_n = -2x_n$}. Grupė {$B_n$} tarsi karpo skaičiavimo siūlą ir sujungia abi dalis papildomu nuliu {$0$}. Taip atsiranda šaknis {$-x_n +0 = -x_n$}. Grupė {$D_n$} tarsi karpo skaičiavimo siūlą ir sutapatina abiejų dalių galus, taip kad {$-x_n = -x_n$} ir seka šaknis {$-x_n -x_{n-1}$}. Taigi, klasikinių Lie algebrų šaknų sistemos išsako santykį tarp skaičiavimo pirmyn ir skaičiavimo atgal.

Trečia, klasikines Lie grupes sudaro skirtingų dalybos algebrų isometrijos. Ortogonalinės, unitarinės, simplektinės grupės atitinkamai sudaro realųjų skaičių, kompleksinių skaičių, kvaternionų isometrijos.

Papasakosime, kaip sekasi tirti ir sieti šiuos tris skirtingus priėjimus, ir kaip jie atkreipia dėmesį į simetrijas glūdinčias pačioje matematikoje, paprasčiausiose jos ženklų išraiškose.

--------------------------

Kaip intuityviai suprasti? Išdėstysiu sąvokas, kurios manau yra svarbios.

I) Matematikos žemėlapis ir Lie algebros, Lie grupės
* Tariamai ar tikrai gyvenimiškai: klasifikavimo išdavos - Dynkin diagramos
II) Sandaugos simetrijos
* politopai - priešingybės
III) Nulis
* Šaknų sistemos - apsisukimai
IV) Atvirkštinės matricos
* Skaičiai - realusis: posūkis taške - joks, kompleksinis: posūkis apskritime, kvaternionas: posūkis sferoje
* Ortogonališkumas (eilučių ir stulpelių) Orthogonality of rows and columns - transpose is inverse.
* Cayley-Dickson konstrukcija
* Kaip susikabina posūkiai
* Komutatyvumas - apskritimas - nulis
* Posūkių grupės - aspkritimas, sfera
V) Keturios geometrijos

--------------------------

Tai jau žingsnis pirmyn link paaiškinimo kurio ieškau. Manau, jis taip pat gali padėti suprasti realiųjų skaičių, kompleksinių skaičių ir kvaternionų vaidmenį. Mat A šeima susijusi su unitarinėmis matricomis, su kompleksinių skaičių norma, su posūkiais kompleksinių skaičių daugiamatėje erdvėje, tad skaičiavimo dualizmas gali glūdėti kompleksinių skaičių jungtiniuose. B ir D šeimos susijusios su neporinių ir porinių dimensijų ortogonalinėmis matricomis, su realųjų skaičių norma, su posūkiais realųjų skaičių daugiamatėje erdvėje. Jas galima suprasti kaip skaičiavimo sukarpymą ir galus sudūrimą. Tuos galus galima sudurti papildomu matu, ir tokiu atveju bus neporinis matų skaičius. Arba galima du matus sutapatinti, kuriuo atveju yra porinis matų skaičius. O C šeima susijusi su simplektinėmis matricomis, su kvaternionų norma, su posūkiais kvartenionų daugiamatėje erdvėje. Ją galima suprasti kaip skaičiavimo sulankstymą, taip kad iš dviejų matų gaunasi keturi matai.

Prisipažįstu, aš kol kas tik pradinukas bandydamas įsivaizduoti posūkius ir kaip juos vaizduoti matricomis, kurių nariai gali būti realieji skaičiai, kompleksiniai skaičiai arba netgi kvaternionai. Paprasčiausi yra posūkiai apskritime, kuriuos galima vaizduoti realiųjų skaičių matricomis dviem eilutėm ir dviem stulpeliais, arba vienu kompleksiniu skaičiumi. Šie posūkiai yra komutatyvūs, užtat neįdomūs, tarsi nuliniai. Tačiau šį apskritimą, kurio posūkiai sukasi apie {$z$} ašį, galime papildyti posūkiais apie {$x$} ir {$y$} ašis. Šiuos posūkius apie sferą galima pavaizduoti vienu kvaternionu. Dabar jau atsiranda nekomutatyvumas. Posūkis apie {$x$} ir paskui {$y$} skiriasi nuo posūkio apie {$y$} ir paskui {$x$}. Atsiranda tarsi sankaba tarp šių dviejų galimybių ir jų ryšį išreiškia komutatorius XY-YX = [X,Y]. Kai šis komutatorius nulinis, tai posūkiai nesusiję, bet kai jis nenulinis, tai posūkiai sąveikauja, o būtent tai mus domina. Turbūt ne tik man yra sunku įsivaizduoti posūkius keturmatėse ir penkiamatėse erdvėse, nes Lie grupių klausimai nagrinėjami Lie algebromis, kurie susieti eksponencialu, taip kad posūkių daugybos klausimai virsta sankabų sudėties klausimais.

Dynkin diagrama vaizduoja Lie algebros paprastasias šaknis, tai yra, vienamates erdves, kurių prireikia nusakant Lie grupės posūkius. Kiekvienas rutulėlis yra vienamatė erdvė, šaknis, vektorius, tarsi ta sankaba siejanti sferos posūkius. Dynkin diagrama koduoja ryšius tarp šaknų, tarp tų sankabų. Geometriškai, dvigubas ryšys tarp šaknų reiškia jas skiria 135 laipsnių kampas, viengubas ryšys tarp šaknų reiškia jas skiria 120 laipsnių kampas, o jeigu nėra ryšio tarp šaknų, tai jas skiria 90 laipsnių kampas, vadinasi, jos yra ortogonalios, nesąveikauja. Žodžiu, šaknų sąveikavimas labai ribotas, jos vienas kitai beveik visada ortogonalios. Įsidėmėkime, kad visos keturios klasikinės šeimos yra labai panašios, skiriasi tiktai galūnės. Kiekvienu atveju stuburą daro šaknų grandinė. 120 laipsnių kampu pereiname iš pirmos šaknies į antrą šaknį, ir 120 laipsnių kampu pereiname iš antros šaknies į trečią šaknį, tačiau pirmą ir trečią šaknį skiria būtent 90 laipsnių, taip kad jos tiesiogiai nesąveikauja. Ir taip per visą grandinę ir kitokių grandinių negali būti. Tad labai įdomu, kas darosi tose galūnėse.

Aišku, nelengva įsivaizduoti šias daugiamates sistemas, tačiau kai kurios galūnės yra dvimatės sistemos. Šie keli pavyzdžiai pavaizduoja šaknų sistemų simetriškumą. Kiekviena šaknis α nusako savitą kryptį, ir kaip normali vektorė apibrėžia hiperplokštumą. Visų šaknų atspindžiai kitapus tos hiperplokštumos taipogi bus šaknys, įskaitant ir −α. Užtat jeigu dvi šaknis skiria daugiau kaip 90 laipsnių kampas, tai jų sudėtis bus šaknis. Ir jeigu dvi šaknis skiria mažiau kaip 90 laipsnių kampas, tai jų skirtumas bus šaknis. Bet jeigu šaknis skiria lygiai 90 laipsnių kampas, tai jų sudėtis ar skirtumas gali būti ar nebūti šaknų sistemoje, žiūrint kokia sistema. Šiaip kai šaknis skiria 120 laipsnių kampas, kaip kad šaknų grandinėje, tai visos šaknys yra tokio pat ilgio. Tačiau galūnėje paskutinę šaknį gali skirti 135 laipsnių kampas, kuomet jinai bus už visas kitas trumpesnė arba už visas kitas ilgesnė.

Šaknų sistemos yra navigacinės sistemos. Svarbu, kad neatsirastų dvi šaknys rodančios ta pačia kryptimi. Tokiu atveju visa sistema subliukštų, tai yra, atitinkama Cartano matrica išsigimtų, neturėtų atvirkštinės, jos determinantas būtų nulis. Galima įsitikinti, kad šaknų sistema negali susidaryti iš kubo šonų ir kampų, mat, tuomet kubo šono kryptimi atsirastų dvigubai ilgesnė šaknis. O tai reiškia, kad sistema negali neribotai augti trimis kryptimis ir iš esmės tegali augti, kaip grandinė.

Atvirkštinės matricos koduoja santykius tarp indeksus.
2019 birželio 19 d., 06:51 atliko AndriusKulikauskas -
Pridėtos 1-102 eilutės:
Žr. [[http://www.ms.lt/sodas/Book/20180928ClassicalLieAlgebras | Classical Lie Algebras]], [[20190619-LieSandarųIštakos-Santrauka | Santrauka]], [[20190619-LieSandarųIštakos-Santrauka | Juodraštis]]

[+Keturių klasikinių Lie grupių ir algebrų kombinatorinės ištakos+]

Kaip intuityviai suprasti? Išdėstysiu sąvokas, kurios manau yra svarbios.

* I) Matematikos žemėlapis ir Lie algebros, Lie grupės
* Tariamai ar tikrai gyvenimiškai: klasifikavimo išdavos - Dynkin diagramos
* II) Sandaugos simetrijos - politopai - priešingybės
* III) Nulis
* Šaknų sistemos - apsisukimai
* IV) Kaip susikabina posūkiai
* Komutatyvumas - apskritimas - nulis
* Posūkių grupės - aspkritimas, sfera
* Ortogonališkumas (eilučių ir stulpelių) Orthogonality of rows and columns - transpose is inverse.
* V) Skaičiai - realusis: posūkis taške - joks, kompleksinis: posūkis apskritime, kvaternionas: posūkis sferoje (?)
* Inverse elements
* Cayley-Dickson konstrukcija
-----------------------------------

Vaikystėje užsimojau viską žinoti ir tą žinojimą gražiai taikyti. Išmintis išsakoma sandaromis, o matematika yra sandarų mokslas. Tad 1993-čiaisiais metais būtent iš matematikos, algebrainės kombinatorikos, gavau daktaro laipsnį iš Kalifornijos universiteto San Diege.

Prieš trejus metus pasiryžau atsekti, kokiais samprotavimais išsivysto visa matematika, jos paskiros šakos, sąvokos, klausimai, atsakymai, tyrimo būdai. Pradžiai pasidariau matematikos šakų klasifikacijos žemėlapį, pamąsčiau kuri šaka kuria remiasi. Bendrais bruožais, matematika plasnoja dviem sparnais, analize ir algebra, kuriuos sieja daugiamatė geometrija. Analizės ir algebros sąsają išsako atitikimas tarp kompaktinių Lie grupių ir paprastųjų Lie algebrų. Iš esmės, kompaktinė Lie grupė yra matricų grupė išreiškianti daugiamačius posūkius, o paprastoji Lie algebra yra tų posūkių ašių simetrijų lentelė. Šios erdvės ir simetrijos riboja įmanomas geometrijas ir sudaro teoretinės fizikos abėcėlę.

Lie teorija yra, mano manymu, siaubingai abstrakti, tačiau jos išdavos yra netikėtai dalykiškos. Jų galimybes išsako pavaizduotos Dynkin diagramos. Yra keturios begalinės, klasikinės šeimos ir penkios papildomos išimtys. Mane domina, kaip paprasčiausiai suprasti ir paaiškinti, kuomi pasižymi šios klasikinės šeimos ir kodėl jų yra būtent keturios. Gal man pavyks per trumpą laiką jus įtikinti, kad turėtų slypėti kol kas neatrastas, gilus bet paprastas atsakymas. Pasidalinsiu su jumis kelias savo įžvalgas.

Prisipažįstu, aš kol kas tik pradinukas bandydamas įsivaizduoti posūkius ir kaip juos vaizduoti matricomis, kurių nariai gali būti realieji skaičiai, kompleksiniai skaičiai arba netgi kvaternionai. Paprasčiausi yra posūkiai apskritime, kuriuos galima vaizduoti realiųjų skaičių matricomis dviem eilutėm ir dviem stulpeliais, arba vienu kompleksiniu skaičiumi. Šie posūkiai yra komutatyvūs, užtat neįdomūs, tarsi nuliniai. Tačiau šį apskritimą, kurio posūkiai sukasi apie {$z$} ašį, galime papildyti posūkiais apie {$x$} ir {$y$} ašis. Šiuos posūkius apie sferą galima pavaizduoti vienu kvaternionu. Dabar jau atsiranda nekomutatyvumas. Posūkis apie {$x$} ir paskui {$y$} skiriasi nuo posūkio apie {$y$} ir paskui {$x$}. Atsiranda tarsi sankaba tarp šių dviejų galimybių ir jų ryšį išreiškia komutatorius XY-YX = [X,Y]. Kai šis komutatorius nulinis, tai posūkiai nesusiję, bet kai jis nenulinis, tai posūkiai sąveikauja, o būtent tai mus domina. Turbūt ne tik man yra sunku įsivaizduoti posūkius keturmatėse ir penkiamatėse erdvėse, nes Lie grupių klausimai nagrinėjami Lie algebromis, kurie susieti eksponencialu, taip kad posūkių daugybos klausimai virsta sankabų sudėties klausimais.

Dynkin diagrama vaizduoja Lie algebros paprastasias šaknis, tai yra, vienamates erdves, kurių prireikia nusakant Lie grupės posūkius. Kiekvienas rutulėlis yra vienamatė erdvė, šaknis, vektorius, tarsi ta sankaba siejanti sferos posūkius. Dynkin diagrama koduoja ryšius tarp šaknų, tarp tų sankabų. Geometriškai, dvigubas ryšys tarp šaknų reiškia jas skiria 135 laipsnių kampas, viengubas ryšys tarp šaknų reiškia jas skiria 120 laipsnių kampas, o jeigu nėra ryšio tarp šaknų, tai jas skiria 90 laipsnių kampas, vadinasi, jos yra ortogonalios, nesąveikauja. Žodžiu, šaknų sąveikavimas labai ribotas, jos vienas kitai beveik visada ortogonalios. Įsidėmėkime, kad visos keturios klasikinės šeimos yra labai panašios, skiriasi tiktai galūnės. Kiekvienu atveju stuburą daro šaknų grandinė. 120 laipsnių kampu pereiname iš pirmos šaknies į antrą šaknį, ir 120 laipsnių kampu pereiname iš antros šaknies į trečią šaknį, tačiau pirmą ir trečią šaknį skiria būtent 90 laipsnių, taip kad jos tiesiogiai nesąveikauja. Ir taip per visą grandinę ir kitokių grandinių negali būti. Tad labai įdomu, kas darosi tose galūnėse.

Aišku, nelengva įsivaizduoti šias daugiamates sistemas, tačiau kai kurios galūnės yra dvimatės sistemos. Šie keli pavyzdžiai pavaizduoja šaknų sistemų simetriškumą. Kiekviena šaknis α nusako savitą kryptį, ir kaip normali vektorė apibrėžia hiperplokštumą. Visų šaknų atspindžiai kitapus tos hiperplokštumos taipogi bus šaknys, įskaitant ir −α. Užtat jeigu dvi šaknis skiria daugiau kaip 90 laipsnių kampas, tai jų sudėtis bus šaknis. Ir jeigu dvi šaknis skiria mažiau kaip 90 laipsnių kampas, tai jų skirtumas bus šaknis. Bet jeigu šaknis skiria lygiai 90 laipsnių kampas, tai jų sudėtis ar skirtumas gali būti ar nebūti šaknų sistemoje, žiūrint kokia sistema. Šiaip kai šaknis skiria 120 laipsnių kampas, kaip kad šaknų grandinėje, tai visos šaknys yra tokio pat ilgio. Tačiau galūnėje paskutinę šaknį gali skirti 135 laipsnių kampas, kuomet jinai bus už visas kitas trumpesnė arba už visas kitas ilgesnė.

Šaknų sistemos yra navigacinės sistemos. Svarbu, kad neatsirastų dvi šaknys rodančios ta pačia kryptimi. Tokiu atveju visa sistema subliukštų, tai yra, atitinkama Cartano matrica išsigimtų, neturėtų atvirkštinės, jos determinantas būtų nulis. Galima įsitikinti, kad šaknų sistema negali susidaryti iš kubo šonų ir kampų, mat, tuomet kubo šono kryptimi atsirastų dvigubai ilgesnė šaknis. O tai reiškia, kad sistema negali neribotai augti trimis kryptimis ir iš esmės tegali augti, kaip grandinė.

Palyginkime klasikinių Lie algebrų šaknų sistemas. Galime jų paprastasias šaknis {$x_2-x_1$}, {$x_3-x_2$} ir taip toliau suprasti, kaip koduojančius skaičiavimą, 1, 2, 3 ir toliau iki skaičaus n. A šeima skaičiuoja toliau, {$x_{n+1}-x_n$}. Iš tikrųjų, yra dualizmas, kuriuo iš vieno galo skaičiuodami pirmyn 1, 2, 3 tuo pačiu iš kito galo skaičiuojame atgal -3, -2, -1. Kitos trys šeimos skirtingais būdais susieja šias dvi skaičiavimo kryptis. B šeima įveda papildomą, išorinį nulį, tuštumą, taip kad skaičiavimas vyksta -2, -1, 0, 1, 2. Pereinama iš 0 į 1, užtat atsiranda papildoma šaknis {$x_1-0=x_1$}. D šeima apibrėžia vidinį nulį sutapatinant -1 ir 1, taip kad skaičiavimas vyksta -3, -2, -1=1, 2, 3. Pereinama iš -2 į 1, užtat atsiranda papildoma šaknis {$x_1-(-x_2)=x_1+x_2$}. O C šeima tiesiog suduria abu skaičiavimus: -2, -1, 1, 2. Pereinama iš -1 į 1 užtat atsiranda papildoma šaknis {$x_1-(-x_1)=2x_1$}.

Tai jau žingsnis pirmyn link paaiškinimo kurio ieškau. Manau, jis taip pat gali padėti suprasti realiųjų skaičių, kompleksinių skaičių ir kvaternionų vaidmenį. Mat A šeima susijusi su unitarinėmis matricomis, su kompleksinių skaičių norma, su posūkiais kompleksinių skaičių daugiamatėje erdvėje, tad skaičiavimo dualizmas gali glūdėti kompleksinių skaičių jungtiniuose. B ir D šeimos susijusios su neporinių ir porinių dimensijų ortogonalinėmis matricomis, su realųjų skaičių norma, su posūkiais realųjų skaičių daugiamatėje erdvėje. Jas galima suprasti kaip skaičiavimo sukarpymą ir galus sudūrimą. Tuos galus galima sudurti papildomu matu, ir tokiu atveju bus neporinis matų skaičius. Arba galima du matus sutapatinti, kuriuo atveju yra porinis matų skaičius. O C šeima susijusi su simplektinėmis matricomis, su kvaternionų norma, su posūkiais kvartenionų daugiamatėje erdvėje. Ją galima suprasti kaip skaičiavimo sulankstymą, taip kad iš dviejų matų gaunasi keturi matai.





-------------------------------

* Įvadas į Lie grupes ir algebras. Dykin diagrams. Rotations in 2, 3 dimensions. Lie algebra product [,] effect on basis elements of matrices - yeilding ei-ej, aij - arrow
* Tariamai ar tikrai gyvneimiškai
* Kaip [,] varžo Lie grupes? If XY=YX, then e^x e^y = e^{x+y} and [X,Y] =0 then dimensions are independent. e^X e^-X = e^I e^(ax+bx) = e^ax e^bx
* 4 geometrijos
* Conservation - paths, lines, angles, oriented areas. Sypmlectic 2x2 matrix: oriented area.
* inverses of group elements
* posūkiai turi determinantą 1. So by Cramer's rule they have combinatorially nice inverses.
* Inverse types
* Symplectic inverse. How does the symplectic inverse relate to the quaternions? to their conjugation?
* Why can't have other inverse types? For example, i to j iff j-bar to i-bar without sign change?
* Reorganize symplectic matrix in terms of 2x2 matrices. Get combinatorial interpretation of inverse elements.
* posūkiai - R, C, H - ir jų pavyzdžiai mažamatėse erdvėse
* e^tM reikšmės
* poliarinė dekompozicija
* bilinear forms
* matrix symmetries
* Cartan subalgebras
* generalized Cartan matrices
* Cartan matrix. Entries give the amount of looseness from root -i, how many steps can be taken with root j.
* Row of Cartan matrix. Given root -i, the various degrees of looseness one can take in the direction of each root.
* Determinant of Cartan matrix. Volume of looseness. Shows nondegeneracy of looseness in direction of each root. Volume spanned by row vectors giving looseness from each negative root. Volume spanned by column vectors giving amount of looseness in each direction. Size of WeightLattice/RootLattice which is the looseness of the whole system, the number of times the root system can be repeated in any dimension.
* Cartan matrix determinant. Study why An=n+1. A_n+1=2A_n-A_n-1Why the constraints arise for the other Lie algebra root system. Why the volume collapses for B_n, C_n, D_n. Why it's not possible to alter both ends.
* Determinant of Cartan matrix of G2 is 1. Explain why this is true. Based on Cartan matrix entries, based on weight lattice / root lattice.
* Root systems are variants of A_n simplex. Reverse the count? Why do the quadruple links arise. How does this relate to the Cartan matrix? And the weight lattice? and looseness? For B_n, are these double or quadruple links between x_i and 0?
* Weight/Root = 4 for A_3, show this with a 3-dimensional lattice
* Weight/Root lattice
* Counting <->
* Root systems - simplex enhancements
* Weyl groups
* Choice frameworks
*
* 120 + 120 = 90 degrees (ir Bott periodicity)
* Link An Lie algebra and Lie group
* An Geometric Link back bone for root systems
* A_2 illustration in 3 dimensions
* požiūriai, matai

Special linear groups of Reals, Complexes, Quaternions have maximal compact subgroups SO(n), SU(n), Sp(n).









--------------------------

Keturios klasikinės šeimos Lie grupių ir algebrų yra kertinės matematinės sandaros, siejančios algebrą ir analizę. Jų klasifikacija išplaukia iš Dynkin diagramų. Tai yra unitarinės {$A_n$}, neporinės ortogonalinės {$B_n$}, simplektinės {$C_n$} ir porinės ortogonalinės {$D_n$} grupės ir algebros. Ar galima giliau ir aiškiau įžvelgti, kokios yra šių keturių šeimų esminės savybės dėl kurių jos išsiskiria? Pristatysiu tris priėjimus ir savo pastangas juos susieti.

Pirma, Lie algebrų šaknų sistemas sietinos su jų simetrijas išreiškiančiomis Weyl grupėmis. Atitinkamas simetrijas turi trys politopų šeimos (simpleksai, kryžminiai politopai, hiperkubai) ir ketvirta sandara - hiperkubo koordinačių sistema. Šios keturios sandaros vaizduoja keturių skirtingų pobūdžio pasirinkimų kombinatorikas. Tai skirtingi būdai, kuriais protas įžvelgia simetriją Paskalio trikampiu generuojamoje sandaugoje {$x_1 x_2 \dots x_n$}. Pavyzdžiui, trikampis (simpleksas) turi vieną židinį, tris viršūnes, tris kraštus ir vieną visumą. O pastačius kūbą ant vienos viršūnės, jo aštuonios viršūnės išsidėsto: 1, 3, 3, 1. Atkreipiame dėmesį, kad šios simetrijos paviršutiniškai sutampa tačiau skiriasi savo sintaksine logika.

Antra, klasikinių Lie algebrų šaknų sistemos skirtingai auga. Visos grupės turi šaknis {$-x_1+x_2, -x_2 + x_3, \dots , -x_{n-1}+x_{n}$}. Grupės {$A_n$} šaknys auga toliau {$-x_n+x_{n+1}$}. Tačiau kitų grupių šaknys įvairiai sieja šį skaičiavimą pirmyn su skaičiavimu atgal {$-x_n-x_{n-1}, -x_{n-1}-x_{n-2}, \dots , -x_2-x_1$}. Grupė {$C_n$} juos suduria tiesiogiai, tarsi sulenkiant siūlą. Taip atsiranda šaknis {$-x_n -x_n = -2x_n$}. Grupė {$B_n$} tarsi karpo skaičiavimo siūlą ir sujungia abi dalis papildomu nuliu {$0$}. Taip atsiranda šaknis {$-x_n +0 = -x_n$}. Grupė {$D_n$} tarsi karpo skaičiavimo siūlą ir sutapatina abiejų dalių galus, taip kad {$-x_n = -x_n$} ir seka šaknis {$-x_n -x_{n-1}$}. Taigi, klasikinių Lie algebrų šaknų sistemos išsako santykį tarp skaičiavimo pirmyn ir skaičiavimo atgal.

Trečia, klasikines Lie grupes sudaro skirtingų dalybos algebrų isometrijos. Ortogonalinės, unitarinės, simplektinės grupės atitinkamai sudaro realųjų skaičių, kompleksinių skaičių, kvaternionų isometrijos.

Papasakosime, kaip sekasi tirti ir sieti šiuos tris skirtingus priėjimus, ir kaip jie atkreipia dėmesį į simetrijas glūdinčias pačioje matematikoje, paprasčiausiose jos ženklų išraiškose.

20190619-LieSandarųIštakos-Juodraštis


Naujausi pakeitimai


Puslapis paskutinį kartą pakeistas 2019 birželio 19 d., 14:32